Abstract
Le but de cette thèse est l'étude de certains aspects d'un marché financier comportant plusieurs actifs risqués et des options écrites sur ces actifs. Dans un premier essai, nous proposons une expression de la distribution implicite du prix d'un actif sous-jacent en fonction du smile de volatilité associé aux options écrites sur cet actif. L'expression obtenue pour la densité implicite prend la forme d'une densité log-normale plus deux termes d'ajustement. La mise en oeuvre de ce résultat est ensuite illustrée à travers deux applications pratiques. Dans le deuxième essai, nous obtenons deux caractérisations de l'absence d'opportunité d'arbitrage en termes de fonctions copules. Chacune de ces caractérisations conduit à une méthode de détection des situations d'arbitrage. La première méthode proposée repose sur une propriété particulière des copules de Bernstein. La seconde méthode est valable dans le cas bivarié et tire profit de résultats sur les bornes de Fréchet-Hoeffding en présence d'information additionnelle sur la dépendance. Les résultats de l'utilisation de ces méthodes sur des données empiriques sont présentés. Enfin, dans le troisième essai, nous proposons une approche pour couvrir avec des options sur spread l'exposition au risque de dépendance d'un portefeuille d'options écrites sur deux actifs. L'approche proposée repose sur l'utilisation de deux modèles paramétriques de dépendance que nous introduisons: les copules Power Frank (PF) et Power Student's t (PST). Le fonctionnement et les résultats de l'approche proposée sont illustrés dans une étude numérique., This thesis is dedicated to the study of a market with several risky assets and options written on these assets. In a first essay, we express the implied distribution of an underlying asset price as a function of its options implied volatility smile. For the density, the obtained expression has the form of a log-normal density plus two adjustment terms. We then explain how to use these results and develop practical applications. In a first application we value a portfolio of digital options and in another application we fit a parametric distribution. In the second essay, we propose a twofold characterization of the absence of arbitrage opportunity in terms of copula functions. We then propose two detection methods. The first method relies on a particular property of Bernstein copulas. The second method, valid only in the case of a market with two risky assets, is based upon results on improved Fréchet-Hoeffding bounds in presence of additional information about the dependence. We also present results obtained with the proposed methods applied to empirical data. Finally, in the third essay, we develop an approach to hedge, with spread options, an exposure to dependence risk for a portfolio comprising two-asset options. The approach we propose is based on two parametric models of dependence that we introduce. These dependence models are copulas functions named Power Frank (PF) and Power Student's t (PST). The results obtained with the proposed approach are detailed in a numerical study.